☆ e revient

On admet que  \(\forall a\in\mathbb R_+^*, \forall b\in\mathbb R,\, a^{b}=\text{e}^{b\ln a}\) .

1. Démontrer que, pour tout réel \(x>0\) , \(\dfrac{1}{x+1}\leqslant\ln(x+1)-\ln x\leqslant\dfrac{1}{x}\) .

2. On considère la fonction \(f\)  définie sur \(\mathbb R_+^*\)  par \(f(x)=\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^{x}\) .
    a. Démontrer que la fonction  \(f\) est strictement croissante sur  \(\mathbb R_+^*\)   .
    b. Démontrer que \(\underset{x\rightarrow+\infty}{\lim}\ln\left(f(x)\right)=1\) .
    c. En déduire la limite de  \(f\) en  \(+\infty\) .